Câu hỏi
20/12/2024 10Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Câu hỏi thuộc đề thi
Danh mục liên quan
Lời giải của Vua Trắc Nghiệm
Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên.
Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là a, các cạnh bên có độ dài là b.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vì SO là đường cao của tam giác SOC nên \(SO = \sqrt {S{C^2} – O{C^2}} = \sqrt {{b^2} – \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} .\)
Khi đó, ta có: O(0; 0; 0), \(A\left( { – \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),B\left( {0; – \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\) và \(S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} } \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} } \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}; – \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\).
Có \(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} }\\{ – 1}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&{ – 1}\end{array}} \right|} \right)\)
\( = \left( { – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ; – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ; – \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} }\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right)\)
\( = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ; – \sqrt {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\).
Ta có mặt phẳng (SCD) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (SCB) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = – \left( {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{2{b^2} – {a^2}}}{2}} \right) – \frac{{{a^2}}}{2} = – \frac{{{a^2}}}{2} \ne 0\).
Do đó hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.
Vì vậy ý tưởng trên không thể thực hiện được.