Câu hỏi
26/11/2024 66Cho điểm A(3; 2) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhấ, với O là gốc tọa độ.
a) Biết hoành độ điểm B là x = t với t > 3. Tính diện tích tam giác OBC theo t. Kí hiệu diện tích này là S(t).
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t).
c) Tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.
Câu hỏi thuộc đề thi
Danh mục liên quan
Lời giải của Vua Trắc Nghiệm
a) Ta có: B(t; 0).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) = (t – 3; −2).
Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{{x – 3}}{{t – 3}} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}}\) hay y = 2 − \(\frac{2}{{t – 3}}\left( {x – 3} \right)\).
Suy ra điểm C có tung độ yC = 2 + \(\frac{6}{{t – 3}}\).
Vậy C\(\left( {0;2 + \frac{6}{{t – 3}}} \right)\).
Ta có: OB = \(\sqrt {{{\left( {t – 0} \right)}^2} + {{\left( {0 – 0} \right)}^2}} \) = t
OC = \(\sqrt {{{\left( {0 – 0} \right)}^2} + {{\left( {2 + \frac{6}{{t – 3}} – 0} \right)}^2}} = \frac{{2t}}{{t – 3}}\).
Diện tích tam giác OBC là S(t) = \(\frac{1}{2}\).OB.OC = \(\frac{1}{2}\).t.\(\frac{{2t}}{{t – 3}}\) = \(\frac{{{t^2}}}{{t – 3}}\).
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t) = \(\frac{{{t^2}}}{{t – 3}}\).
1. Tập xác định: D = (3; +∞).
2. Sự biến thiên
Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} S(t) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } S(t) = + \infty \).
Ta có: S(t) = t + 3 +\(\frac{9}{{t – 3}}\).
S‘(t) = 1 − \(\frac{9}{{{{\left( {t – 3} \right)}^2}}}\)
S‘(t) = 0 ⇔ 1 − \(\frac{9}{{{{\left( {t – 3} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ t = 6 (do t > 3).
Ta có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực tiểu tại t = 6 và yCT = 12.
c) Dựa vào bảng biến thiên ở phần b, ta thấy để diện tích tam giác OBC có diện tích nhỏ nhất thì B(6; 0).
Câu hỏi liên quan
![Gia tốc a(t) của một vật chuyển động, t tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ 5 là một hàm liên tục có đồ thị như hình sau: a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc y = v(t) của vật, với t ∈ [1; 5]. b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất? (ảnh 1)](https://vuatracnghiem.edu.vn/wp-content/uploads/2024/11/Gia-toc-at-cua-mot-vat-chuyen-dong-t-tinh.png)
Xin chào các bạn học sinh tại Vuatracnghiem.edu.vn!
Website được tạo ra nhằm mục đích hỗ trợ các bạn học sinh ôn thi trắc nghiệm hoàn toàn miễn phí, chúng mình không thu bất kỳ chi phí nào. Tuy nhiên, chúng mình cần một ít chi phí để duy trì website đồng thời tạo thêm nhiều nội dung có giá trị hơn, đôi khi trong quá trình truy cập website sẽ xuất hiện một vài quảng cáo. Hy vọng các bạn ủng hộ và thông cảm giúp chúng mình.
